[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.ÿþWykÅ‚ad 6W dowolnym pierÅ›cieniu można zdefiniować potÄ™gowanie elementów ja-ko an = a · a · · · a.Możemy również zdefiniować potÄ™gÄ™ a0 jako 1P (jeÅ›li Pn×posiada jedynkÄ™).DokÅ‚adnie tak samo jak w pierÅ›cieniu liczb caÅ‚kowitychpotÄ™gowanie ma nastÄ™pujÄ…ce wÅ‚asnoÅ›ci:(1) an+m = an · am.(2) anm = (an)m.Podobnie można zdefiniować mnożenie elementu danego pierÅ›cienia Pprzez liczby caÅ‚kowite.JeÅ›li p " P i n " Z to dla n > 0 mamy np =p + p +.p, a dla n n.PrzykÅ‚ad Wielomian 2 + 0x - x2 + 0x3 + 5x4 " R[x] zapisywać bÄ™dziemyzwykle w postaci 2 - x2 + 5x4.PrzykÅ‚ad Jak wiadomo wielomiany można dodawać i mnożyć:Niech f(x) = 1 + 5x - x2 + 4x3 + 2x4, g(x) = 4 + 2x + 3x2 + x3 " Z7[x] wtedy:f(x) + g(x) = 5 + 2x2 + 5x3 + 2x4.f(x)g(x) = 2x7 + 3x6 + x5 + 4x4 + 2x3 + 2x2 + x + 4.Ogólniej dziaÅ‚ania dodawania i mnożenia wielomianów można wprowadzićnastÄ™pujÄ…co:(a0 + a1x +.+ anxn) + (b0 + b1x +.+ bnxn) =(a0 + b0) + (a1 + b1)x +.+ (an + bn)xn(a0 + a1x +.+ anxn) · (b0 + b1x +.+ bmxm) =a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 +.+ anbmxn+mdokÅ‚adniej mówiÄ…c współczynnik przy xk jest równy:ka0bk + a1bk-1 + a2bk-2 +.+ ak-2b2 + ak-1b1 + akb0 = aibk-ii=0Twierdzenie 4 Struktura (P [x], +, ·) (z dziaÅ‚aniami jak powyżej) jest pier-Å›cieniem.JeÅ›li P jest pierÅ›cieniem przemiennym to P [x] też jest pierÅ›cie-niem.JeÅ›li P ma jedynkÄ™ to P [x] też.Niech f(x) = a0 + a1x +.+ anxn bÄ™dzie wielomianem nad P i niechan = 0P.Wtedy liczbÄ™ n nazywamy stopniem wielomianu f(x), a elementan nazywamy elementem wiodÄ…cym.StopieÅ„ wielomianu f(x) oznaczać bÄ™-dziemy przez st(f(x)).Jedynym wielomianem, który nie posiada stopnia jest wielomian zerowyf(x) = 0P.Twierdzenie 5 JeÅ›li P jest dziedzinÄ… caÅ‚kowitoÅ›ci to dla dowolnych nieze-rowych wielomianów f(x), g(x) " P [x] mamy:st(f(x)g(x)) = st(f(x)) + st(g(x))Wniosek 1 JeÅ›li P jest dziedzinÄ… caÅ‚kowitoÅ›ci to P [x] też jest dziedzinÄ….3 Algorytm dzieleniaTwierdzenie 6 Niech K bedzie dowolnym ciaÅ‚em i niech f(x), g(x) " K[x],gdzie g(x) = 0K.Wtedy istnieje dokÅ‚adnie jedna para wielomianów q(x), r(x) "K[x], takich że:f(x) = q(x)g(x) + r(x)i r(x) = 0K lub st(r(x)) [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hanula1950.keep.pl

    		•